Möbiuszopf – Anabel Dietz

Die Herausforderung

Eine passende Backform gab es dafür selbstverständlich nicht zu kaufen – wir haben sie selbst gebaut. Die einzelnen, unterschiedlich gebogenen Blechsegmente wurden experimentell approximiert und zu einem in sich verdrehten Ring vernietet.

Von der Form zum fertigen Zopf

Die von Janik gebaute Backform: ein in sich verdrehter Ring mit quadratischem Querschnitt.

Zwei Hälften der Backform von oben, die Nietreihen der einzelnen Segmente sind gut zu erkennen. — Eine Hälfte der Backform von oben.

Die andere Hälfte der Backform von oben.

Nahaufnahme der montierten Form mit mehreren Klemmverschlüssen. — Die fertig montierte Form, mit Klemmverschlüssen zum Öffnen.

Geflochtener Hefezopf mit Nussfüllung, in der Form vor dem Backen. — Der geflochtene Zopf, eingelegt in die Form – kurz vor dem Backen.

Frisch gebackener Zopf, noch in der Form, ohne Glasur. — Frisch gebacken – die verdrehte Form ist deutlich zu erkennen.

Der fertige Zopf mit weißer Glasur, von oben fotografiert. — Fertig glasiert.

Angeschnittenes Stück des Zopfs, die Füllung zieht sich als Spirale durch den Teig. — Im Anschnitt: der Zuckerguss zieht sich als Spirale über den ganzen Zopf. Der Körper besitzt nur zwei Seiten, nicht wie lokal vermutbar vier.

Mathematische Einordnung

Ein Möbiusband entsteht, wenn man einen Streifen einmal um 180° verdreht und die beiden Enden zusammenklebt. Dadurch hat die entstehende Fläche nur noch eine Seite und nur einen Rand – man kann von jedem Punkt aus über die ganze Fläche laufen, ohne sie einmal zu wechseln.

Bei einem quadratischen Querschnitt wie hier gilt das im Kern genauso: Lokal hat der Körper vier Flächen (die vier Flächen, die das Quadrat im Querschnitt begrenzen). Durch die Verdrehung um 180° gehen aber jeweils gegenüberliegende Flächen ineinander über – außen wird zu innen, oben wird zu unten. Global bleiben deshalb nur zwei zusammenhängende Flächen übrig. Wenn eine Ameise den Möbiuszopf an der gezuckerten Seite entlangwandert, kommt sie an jede Stelle der gezuckerten Seite.

Parametrisierung

Die Oberfläche der Form lässt sich ähnlich wie bei einem Torus konstruieren: Ein Quadrat wird um eine Achse gedreht, die im Abstand R zu seinem Mittelpunkt in seiner eigenen Ebene liegt – das entspricht einer Kreisbewegung mit Radius R. Während das Quadrat einmal komplett um diese Achse läuft (um 2π), dreht es sich gleichzeitig nur ein halbes Mal (um π) um seine eigene Achse. Genau dieser halbe Dreh ist der Twist, der aus dem Ring ein Möbiusband macht. Daraus ergibt sich folgende Parametrisierung:

f(u,t) = R· cos usin u0 + (1−t)r· cos v cos ucos v sin usin v + tr· cos(v+π/2) cos ucos(v+π/2) sin usin(v+π/2)

mit v = −u/2 + k·π/2 für k ∈ {0, 1, 2, 3} (die vier Seiten des Quadrats), u ∈ (0, 2π), t ∈ (0, 1). 2r ist die Diagonale des Quadrats, gebacken haben wir mit R = 135 und r = 40 (in mm).

Farbiger 3D-Plot der Fläche für v = -u/2, ein Torus mit einem herausgeschnittenen Segment. — Plot für v = −u/2.

Farbiger 3D-Plot der vollständigen Fläche für v = -u/2 und v = -u/2 + π/2. — Plot für v = −u/2 und v = −u/2 + π/2.

Von der Formel zur Blechform

Aus Aluminiumblech biegen lässt sich eine Fläche nur, wenn sie sich verzerrungsfrei abrollen lässt – mathematisch bedeutet das: überall verschwindende Gaußsche Krümmung. Genau das ist beim Möbiusband nicht der Fall, die Fläche lässt sich also nicht exakt abwickeln. Wir haben das Problem deshalb approximiert: Mit der Parametrisierung oben haben wir die Form zunächst im Kleinen 3D-gedruckt, sie mit Kreppband abgeklebt und diese Abklebung anschließend auf einer Ebene geplättet. Die so gewonnene Fläche konnten wir aus Alublech aussägen und zur endgültigen Form biegen – daher die einzeln unterschiedlich gebogenen und vernieteten Segmente auf den Fotos oben.

3D-gedrucktes Modell der Form in der Hand, eine Seite mit Kreppband abgeklebt. — Die 3D-gedruckte Form, eine Seite mit Kreppband abgeklebt.

Die geplättete Abklebung: eine s-förmige Fläche, die Vorlage für das Alublech. — Die geplättete Abklebung – Vorlage für den Zuschnitt aus Alublech.

Warum zwei Formhälften

Damit sich der fertige Zopf nach dem Backen überhaupt aus der Form heben lässt, darf unterhalb des Unterteils und oberhalb des Oberteils kein Teig mehr liegen – sonst ließe er sich nicht mehr gerade nach oben herausnehmen. Daraus ergibt sich die eigenwillig geschwungene Form der beiden Hälften, wie sie auf den Fotos der Segmente oben zu sehen ist. Ein Hefeteig eignet sich dafür besonders gut: Er läuft nicht aus und füllt durch das Aufgehen die Form vollständig aus.

CAD-Zeichnung der Ober- bzw. Unterseite der Backform von oben, mit gestrichelter Kreislinie. — Ober- bzw. Unterseite der Backform: die eigenwillige Kontur sorgt dafür, dass sich der Zopf gerade nach oben herausheben lässt.